Nozioni di matematica e calcoli coi vettori


Per riuscire a svolgere gli esercizi di carteggio con relativa facilità, è bene rispolverare qualche nozione di matematica di base che ci tornerà molto utile nei calcoli e, in generale, nella vita di tutti i giorni.

Numeri e grandezze

I numeri sono elementi matematici utilizzati per esprimere delle quantità. Ne abbiamo a che fare tutti i giorni e nascono dalla necessità di conteggiare qualcosa e di comunicare l'entità una certa grandezza.

Esistono tanti tipi di numeri (naturali, interi, razionali, reali, etc) ma la cosa che più ci interessa conoscere è l'esistenza dei numeri relativi: ogni numero reale (intero o decimale) è accompagnato da un segno convenzionale (+ o -) che ci fa capire da che parte ci troviamo rispetto allo zero.
Numeri relativi

I numeri positivi e negativi costituiscono due semirette che partono da 0 e vanno all'infinito. Un esempio abbastanza comune di utilizzo dei numeri relativi è la misurazione della temperatura: +25°C e -6°C ci danno un'indicazione ben precisa delle condizioni climatiche che troveremo all'esterno.

Nel nostro caso, i numeri relativi ci servono per diversi scopi, dal calcolo della declinazione del campo magnetico terrestre fino ai rilevamenti polari. È necessario conoscere le regole di base per sommarli, sottrarli e moltiplicarli.

Somme e sottrazioni

Torna su Quando parliamo di somma, dobbiamo pensare di spostarci nel verso positivo dei numeri, aggiungendo una quantità ad un'altra. Viceversa, in caso di sottrazione dovremo muoverci nel verso negativo.
Ricordiamoci sempre che le somme e le sottrazioni godono della proprietà commutativa:
“Cambiando l'ordine degli addendi, il risultato non cambia”
Ecco alcuni semplici esempi:
3 + 4 = 4 + 3 = 7
Esempio di somma
-2 - 4 = -4 - 2 = -6
Esempio di somma
-6 + 8 = 8 - 6 = +2
Esempio di somma

Esempio di somma

Moltiplicazioni e divisioni

Torna su I numeri relativi possono anche essere moltiplicati e divisi tra loro ma la cosa diversa rispetto ai semplici numeri reali positivi è che bisogna moltiplicare o dividere tra loro anche i segni (+ o -). Per fare ciò esistono delle precise regole che ci vengono insegnate a scuola:
× =
oppure
/ =
(+5) × (+3) = ( × ) (5 × 3) = +15
(+10) / (+4) = ( / ) (10 / 4) = +2.5

× =
oppure
/ =
(+4) × (-2) = ( × ) (4 × 2) = -8
(+9) / (-3) = ( / ) (9 / 3) = -3

× =
oppure
/ =
(-9) × (+6) = ( × ) (9 × 6) = -54
(-20) / (+5) = ( / ) (20 / 5) = -4

× =
oppure
/ =
(-3) × (-6) = ( × ) (3 × 6) = +18
(-18) / (-6) = ( / ) (18 / 6) = +3
Bisogna notare che le regole per il calcolo dei segni valgono anche in casi particolari per le somme:
-2 - (-4) = -2 ( × ) 4 = -2 + 4 = +2

Grandezze scalari e vettoriali

Torna su Mentre i numeri indicano una quantità generica, le grandezze ci servono per mettere in relazione il mondo matematico con quello fisico e per descriverlo compiutamente.

La grandezza è formata da un numero accompagnato da un'unità di misura. Questo è sufficiente per descrivere compiutamente grandezze scalari come la lunghezza, la superficie, la temperatura, la pressione e tante altre. Ecco alcuni esempi di grandezze scalari:
lunghezza: L = 12 m
superficie: S = 1.32 m2


Per alcune altre grandezze chiamate grandezze vettoriali, come la velocità, lo spostamento e altre ancora, abbiamo bisogno di ulteriori informazioni per definirle completamente: ad esempio, affermare che un'imbarcazione si muove a 6 nodi non ci dà alcuna informazione riguardo alla sua rotta e dal punto di vista fisico i dati riguardo al moto dell'imbarcazione sono incompleti.

Quindi, per definire completamente una grandezza vettoriale è necessario indicare:
Intensità o Modulo
Direzione
Verso

La notazione vettoriale utilizza delle frecce nel piano o nello spazio ed è un modo pratico e compatto per indicare le grandezze vettoriali: l'intensità è rappresentata dalla lunghezza della freccia, la direzione è la retta su cui giace mentre il verso è la sua orientazione (ed è rappresentato dalla punta della freccia).
Rappresentazione vettoriale

Qui di seguito vi mostriamo degli esempi di vettori per farvi capire meglio le differenze tra le loro caratteristiche:
Vettori diversa intensità, stessa direzione e stesso verso
Vettori con diversa intensità, stessa direzione e stesso verso
Vettori diversa intensità, stessa direzione e verso opposto
Vettori con diversa intensità, stessa direzione e verso opposto
Vettori diversa intensità, stessa direzione e verso opposto
Vettori con diversa intensità, diversa direzione e diverso verso

Molto spesso la direzione viene confusa col verso. Cerchiamo di chiarire la differenza tra i due con un esempio pratico su carta nautica:

Esempio con carta nautica

Abbiamo tracciato la direzione della nostra rotta (in rosso). Ma qual è la reale rotta? 300° o 120°? Per stabilirlo, dobbiamo fare riferimento al verso del moto dell'imbarcazione.
Esempio con rotta 300°
Rotta 300°
Esempio con rotta 120°
Rotta 120°

Operazioni coi vettori

Torna su Come per i numeri, anche i vettori possono essere sommati, sottratti o moltiplicati. Per quello che riguarda le nostre finalità, non staremo a vedere in dettaglio la moltiplicazione tra un vettore e un altro vettore ma ci limiteremo al caso della moltiplicazione per uno scalare.

Somma e sottrazione tra vettori

Per comprendere la somma e la sottrazione tra vettori, pensiamo a un caso semplice: consideriamo una visita a Roma e prendiamo una mappa su cui andremo a segnare i nostri spostamenti.

Arriviamo a Roma e decidiamo di spostarci dalla stazione Termini (A) a Piazza di Spagna (B) e successivamente al Foro Romano (C).
Indichiamo gli spostamenti come vettori (verde e blu).
Esempio somma vettori
Un nostro conoscente arriva più tardi quando noi siamo già al Foro Romano (C) e ci raggiunge direttamente lì, spostandosi per questo da A a C. Così facendo, percorre un vettore che è la somma dei nostri spostamenti, visto che lo spostamento da A a B e quello successivo da B a C sommati insieme ci hanno portato da A a C:
SpostamentoAB + SpostamentoBC = SpostamentoAC
Esempio somma vettori
Regola del parallelogramma: per calcolare la somma o la differenza di generici vettori AB e BC, dobbiamo costruire il parallelogramma avente come lati i vettori stessi. La somma e la differenza saranno rappresentate dalle diagonali del parallelogramma.
Regola del parallelogramma - somma
La somma è il vettore AC
Regola del parallelogramma - sottrazione
La differenza è il vettore DB

Moltiplicazione per uno scalare

La moltiplicazione per uno scalare (cioè per un semplice numero) serve, appunto, a scalare i vettori, fermi restando la loro direzione e il loro verso. Ciò significa che la moltiplicazione per uno scalare agisce solo sull'intensità (modulo) del vettore.

Esempio: abbiamo un vettore lungo 3 unità. Se lo moltiplichiamo per 2, avremo un vettore avente stessa direzione, stesso verso e modulo (lunghezza) di 6 (cioè 3 × 2); se, invece, lo moltiplichiamo per 0.5 l'intensità si ridurrà a 1.5 (cioè 3 × 0.5).
Moltiplicazione scalare
Moltiplicazione scalare
È proprio questo il caso in cui ci si ritrova quando negli esercizi di carteggio viene richiesto di tracciare il parallelogramma delle velocità (che andrebbe chiamato più propriamente parallelogramma degli spostamenti) basandosi su mezz'ora invece che un'ora: anche se le lunghezze dei vettori tracciati sulla carta saranno la metà, il loro verso e direzione saranno identici ai vettori originali e saranno mantenuti proporzioni e angoli del parallelogramma. Se così non fosse - be' - è stato commesso un errore.

Esempio di somma di vettori e di parallelogramma

Torna su Per comprendere ancora meglio la somma di vettori, consideriamo il tipico caso di un'imbarcazione che avanza con una Prora Vera e una Velocità Propulsiva (in blu) soggetta a una corrente con una certa intensità e direzione (in rosso). Il vettore risultante (in verde) sarà la Rotta Vera e la sua lunghezza rappresenterà la Velocità Effettiva.

Provate a ruotare la Prora Vera e la Corrente per vedere cosa succede alla Rotta Vera e alla Velocità Effettiva.
Ruota la prora vera
Ruota la corrente